☛ Utilisation d'une suite auxiliaire géométrique

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=300$ et, pour tout entier naturel $n$ ,  par $u_{n+1}=0,85u_n+27$ .
On considère la suite  $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n=u_n-180$ .

1. Montrer que $(v_n)$  est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2. En déduire, pour tout entier naturel  $n$ , l'expression de  $v_n$ puis de  $u_n$ en fonction de $n$ .

Solution

1. Pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n+1}=u_{n+1}-180$ .
Or $u_{n+1}=0,85u_n+27$
Donc pour tout entier naturel $n$ , on a  $v_{n+1}=0,85u_n+27-180$
                                                             soit    $v_{n+1}=0,85u_n-153$
D'autre part, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_n=u_n-180$  donc $u_n=v_n+180$ .
En remplaçant dans l'égalité précédente, on obtient :
pour tout entier naturel $n$ , $v_{n+1}=0,85(v_n+180)-153$ .
                                                  $v_{n+1}=0,85v_n+153-153$
                                                  $v_{n+1}=0,85v_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=u_0-180$ soit $v_0=120$ .

 2. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=120$  donc, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_n=v_0\times q^n$  soit $v_n=120\times 0,{85}^n$ .
Enfin, comme pour tout entier naturel $n$ , on a $u_n=v_n+180$ , on en déduit que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n=120\times 0,{85}^n+180$ .

Exercice

Nicolas a déposé en janvier 2024 une somme de 500 euros sur un compte rémunéré à 3 %. C'est-à-dire que, d'une année sur l'autre, le montant présent sur le compte est augmenté de 3 %.
Après avoir versé les intérêts dus, la banque prélève immédiatement 6 euros de frais de tenue de compte. On suppose que Nicolas ne verse ni ne retire d'argent sur ce compte une fois les 500 euros déposés.

1. a. Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en janvier 2025.
    b. Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en janvier 2026.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n$  le montant présent sur le compte de Nicolas en janvier de l'année $2024+n$ . On définit ainsi une suite $(u_n)$  pour laquelle $u_0=500$ .

2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n+1}$  en fonction de $u_n$ .

3. La suite   $(u_n)$  est-elle arithmétique ? G éométrique ? Justifier.

4. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $v_n=u_n-200$ .
    a. Montrer que $(v_n)$  est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    b. Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , l'expression de $v_n$ puis de $u_n$  en fonction de $n$ .
    c. Calculer la somme présente sur le compte de Nicolas en 2040.